probability theory

随机变量及其描述

随机变量X的概率密度函数与概率的关系： $${\int }_a^{b}p(x)=P(a\le x<b)=F(b)-F(a)$$

多维随机变量及其描述

二维随机变量	一维随机变量
联合分布函数 $$F(x,y)=p\{X\le x;Y\le y\}$$	分布函数$$F(x)=P\{X\le x\}$$
联合分布律$$P\{X=x;Y=y\}=p_{ij}$$	分布律$$P\{X=x\}=p_i$$
联合密度函数$$P\{X\le x;Y\le y\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{y}p(x,y)dxdy$$	密度函数$$P\{X\le x\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}p(x)dx$$

随机变量的数学期望

分布形式	数学期望	方差
X	$$E(X)=\sum _{i=1}^n[xX(x_i)]$$	$$D(X)=\sum _{i=1}^n[x_i-E(X){]}^2=E(X^2)-[E(X{)}^2]$$
0~1分布 X~B(1,p)	$$p$$	$$p\ast (1-p)$$
二向分布X B(n, p)	$$np$$	$$n\ast p\ast (1-p)$$
波松分布	λ	λ
指数分布
正态分布	μ	δ2
均匀分布	(a + b)/2	(b − a)2/2

期望的性质

$$E(f(X))={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)p(x)dx$$

任意X，Y

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$

若X和Y相互独立

$$E(XY)=E(X)E(Y)$$

概率积分：$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-(x-1{)}^2}dx=\sqrt{\pi }$$

方差性质

$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$ $$D(aX+b)=a^{2}D(X)$$

当X，Y相互独立时

$$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$$

$$E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0$$

协方差和相关系数

协方差的定义： $$Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$$ 相关系数的定义： $${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{(\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)})}$$